극좌표와 극곡선

1.  극좌표 P(r,θ) 

평면위의 점  P의 위치를 극축(x축의 양의 방향)과 P사이의 각 θ와 원점과의 거리 R로 나타내는 2차원 좌표계를 극좌표계라고 한다.

직교좌표 점 P(x,y)와 점 P(r,θ)의 관계성이 존재한다.

(1) x^2+y^2=r^2 ⇔ x=rcosθ, y=rsinθ

(2) tanθ=y/x ⇔ θ=arctan(y/x)

(3) (r,θ)={(-1)^n,nπ+θ},(n은 정수)

(4) (r,θ)와 (-r,θ)는 원점 대칭을 나타내는 점이다.

직교좌표계에서 모든 점은 단 하나의 순서쌍으로 나타나지만, 극좌표계에서의 표시는 유일하지 않다.

일반적으로 (r, θ±2nπ)(n은 정수) 는 같은 점을 나타낸다.

또 r<0인 경우, 점 (-r,θ)와 (r,θ)는 원점으로부터의 거리는 같고 수직선상에서 원점을 중심으로 서로 반대편에 놓인다.

따라서 (-r,θ)와 (r,θ+π)는 같은 점을 나타낸다.

2. 극방정식 (polar equation)

극방정식 점들로 구성된 그래프를 극곡선 이라고 한다. θ값의 변화에 따라 r값을 구하여 점으로 나타낸 뒤 연결하는 방법으로 그린다.

(1) (r,θ)={((-1)^n)r, nπ+θ} (n은 정수) 의 성질에 의해서 F(r,θ)=0의 그래프는 F{(-r)^n, nπ+θ}=0과 같은 그래프를 나타낸다.

(2) 극곡선 r=f(θ)의 그래프를 α만큼 회전시킨 그래프는 θ대신 θ-α를 대입한 r=f(θ-α)의 그래프와 같다.

3. 극곡선의 유형

(1)원

(2)심장형

이외 장미형과 연주형은 구글링을 해보자.