흔히 게임이론이라고 하면, 게임을 만드는 방법으로 생각하고는 한다.
나에게 누군가 게임이론이 무엇이냐고 질문한다면, "특정 관념에 기초한 최적화 기법" 이라는 말을 할 것이다.
게임이론이란, 의사결정, 분배에 대한 문제로써 모든 상황과 문제를 게임 상황에 대입시켜 계산하기 위한 기법이다.
게임이론은 몇가지 테마로 나뉘게 되는데, 대표적으로 협력게임과 비협력 게임이다. 다만, 이를 단순히 구분하기는 어려운 것이 협력게임에서도 (예를들면 경쟁이 아예 없다면 사회의 발전이 어려울 것이다.) 계산과정에서 비협력게임을 도입하는 경우도 존재한다.
이 글에서 설명할 바게닝은 전통적으로 협력게임에 속한다.
바게닝을 접하면 가장 많이 접하게 되는 내쉬 바게닝 솔루션은, Feasible space에서 내쉬곱의 최대가 되는 지점을 찾는 방법으로, 수식으로 표현하자면 다음과 같다.
Find NBS for Two-person bargaining problem
$$
\begin{aligned}
& S=\left\{\left(y_1, y_2\right) \mid 0 \leq y_1 \leq 30,0 \leq y_2 \leq 30-y_1\right\} \\
& d=(0,0)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{NBS}(S)=\operatorname{argmax}\left(y_1 y_2\right) \\
& y_1 y_2=y 1\left(30-y_1\right) \\
& y_1\left(30-y_1\right) \frac{d}{d y_1}=0 \Leftrightarrow 2 y_1=30 \\
& y_1=15, y_2=15
\end{aligned}
$$
$$
S=\left\{\left(y_1, y_2\right) \mid 0 \leq y_1 \leq 30,0 \leq y_2 \leq \sqrt{30-y_1}\right\}
$$
$$
\begin{aligned}
& y_1 y_2=y_1 \sqrt{30-y_1} \\
& y_1 \sqrt{30-y_1} \frac{d}{d y_1}=0 \\
& \sqrt{30-y_1}+\frac{-1 \cdot y_1}{2 \sqrt{30-y_1}}=\frac{60-3 y_1}{2 \sqrt{30-y_1}}=0 \\
& y_1=20, y 2=\sqrt{10}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& N B S=\operatorname{argmax}\left(U_E U_C \mid U_E, U_C \in \operatorname{scenario}(n)\right) \\
& E S=\left(U_E, U_C \mid U_E=U_C,\left(U_E, U_C \in \operatorname{scenario}(n)\right)\right) \\
& K S B S=\left(U_E, U_C \mid U_E, U_c \in \operatorname{scenario}(n) \text { and } U_E, U_C \in d+(a-d)\right) \\
& N=\{E, C\} . T=[0,1]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { scenario1. } U_E(t)=1-t, U_C(t)=t \\
& N B S:\left(U_E U_C\right)^r=1-2 t=0, t=0.5,\left(U_E, U_C\right)=(0.5,0.5) \\
& E S: U_E=U_C \Leftrightarrow 1-t=t \Leftrightarrow t=0.5,\left(U_E, U_C\right)=(0.5,0.5) \\
& K S B S: \max \left(U_E, U_C\right)-\min \left(U_E, U_C\right)=(1,1) \Leftrightarrow U_E=U_C \\
& 1-t=t \Leftrightarrow t=0.5,\left(U_E, U_C\right)=(0.5,0.5)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{scenario2.} U_E(t)=1-t, U_C(t)=t^{\frac{1}{2}} \\
& N B S:\left(U_E U_C\right)^{\prime}=1 / 2 \sqrt{t}-3 / 2 \cdot \sqrt{t}=(1-3 t) / 2 \sqrt{t}=0, t=1 / 3,\left(U_E, U_C\right)=(2 / 3, \sqrt{1 / 3}) \\
& E S: U_E=U_C \Leftrightarrow 1-t=\sqrt{t} \Leftrightarrow t=3 / 2-\sqrt{5} / 2 \\
& \left(U_E, U_C\right)=((\sqrt{5}-1) / 2,(\sqrt{6-2 \sqrt{5}}) / 2)=\left((\sqrt{5}-1) / 2,\left(\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}\right) / 2\right)=((\sqrt{5}-1) / 2,(\sqrt{5}-1) / 2) \\
& K S B S: \max \left(U_E, U_C\right)-\min \left(U_E, U_C\right)=(1,1) \Leftrightarrow U_E=U_C, \text { same as ES }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { scenario3. } U_E(t)=(1-t)^{\frac{1}{2}}, U_C(t)=t^{\frac{1}{2}} \\
& N B S:\left(U_E U_C\right)^{\prime}=\frac{1-2 t}{2 \sqrt{t-t^2}}=0, t=0.5,\left(U_E, U_C\right)=(\sqrt{1 / 2}, \sqrt{1 / 2}) \\
& E S: U_E=U_C \Leftrightarrow \sqrt{1-t}=\sqrt{t} \Leftrightarrow t=0.5,\left(U_E, U_C\right)=(\sqrt{1 / 2}, \sqrt{1 / 2}) \\
& K S B S: \max \left(U_E, U_C\right)-\min \left(U_E, U_C\right)=(1,1) \Leftrightarrow U_E=U_C, \text { same as } E S
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { scenario4. } U_E(t)=2(1-t), U_C(t)=t \\
& N B S:\left(U_E U_C\right)^{\prime}=2-4 t=0, t=0.5 \\
& E S: U_E=U_C \Leftrightarrow 2-2 t=t \Leftrightarrow t=2 / 3 \\
& K S B S: \max \left(U_E, U_C\right)-\min \left(U_E, U_C\right)=\operatorname{vector}(2,1) \Leftrightarrow U_E=2 U_C \\
& 2-2 t=2 t \Leftrightarrow t=0.5
\end{aligned}
$$
